נולד במוסקבה למשפחה מוזיקלית. אמו, אוקסנה יבלונסקאיה, היא פסנתרנית מפורסמת ומורה בבית הספר למוזיקה ג'וליארד בניו יורק, ואביו היה נגן אבוב במשך 30 שנה בתזמורת הרדיו והטלוויזיה במוסקבה. בגיל תשע הופיע לראשונה בנגינת הקונצ'רטו לצ'לו בדו מז'ור מאת היידן. ב-1977 היגר לארצות הברית עם אמו. בארצות הברית למד בבית הספר למוזיקה ג'וליארד אצל לורן מונרו והמשיך את לימודיו באוניברסיטת ייל, שם החל להתעניין בניצוח.
כצ'לן הוא הופיע בכל רחבי העולם במקומות ידועים כאולם קרנגי, לה סקאלה, אולם הקונצרט הגדול במוסקבה, אולם התזמורת הפילהרמונית בסנקט פטרבורג, אולם הקונצרט הלאומי בטייוואן, תאטרון מוגדור, סיטה דה לה מוזיק, הלובר ואחרים. בין האמנים שניגן אתם מוזיקה קאמרית היו בוריס ברזובסקי, שלמה מינץ, ויקטור טרטיאקוב, לייף אווה אנדסנס ויורי בשמט. בין היתר ניגן יבלונסקי את ביצועי הבכורה בארצות הברית של הסונטה מס' 26 מאת בוקריני.

בשנת 1990 עלה לראשונה על דוכן המנצחים בביצוע של שמינייה מאת סטרווינסקי עם מוזיקאים מתזמורת סנטה צ'ציליה ברומא. בשנים שלאחר מכן כיהן במשך ארבע שנים כמנצח-אורח ראשי של התזמורת הפילהרמונית של מוסקבה וניצח על תזמורות רבות ברחבי העולם, ביניהן התזמרת הפילהרמונית המלכותית בלונדון, התזמורת הבלגית הלאומית, תזמורת האופרה בקטניה, סיציליה, התזמורת של צפון הולנד, התזמורת הקאמרית של בולוניה, התזמורת הלאומית של טייוואן, התזמורת הלאומית של איל דה פראנס, התזמורת הסימפונית ירושלים, התזמורת הסימפונית הישראלית, ראשון לציון ואחרות.

במאי 2014 התמנה יבלונסקי למשרת מנהל מוזיקלי בתזמורת הקאמרית האוקראינית "סולני קייב" – תזמורת של נגנים צעירים שגילם נע סביב 30. יבלונסקי הקליט למעלה מ-70 הקלטות כמנצח וכצ'לן. כמה מהקלטותיו זכו בפרסים רבים, ובהם פרס המבקרים של ברלין. ההקלטה של סוויטות הג'אז של שוסטקוביץ בביצועו צעדה במשך זמן רב במצעדי המוזיקה בבריטניה ובארצות הברית והייתה מועמדת לגראמי ב-2007. הוא שיתף פעולה עם סולנים כגון מונסרט קאבייה ואולגה בורודינה, ואף ביצע את הקונצ'רטו לצ'לו של פנדרצקי בשיתוף עם המלחין.

בשנים האחרונות שיתף פעולה עם אמו, והקונצרטים המשותפים שלהם זכו לשבחים רבים הן מהקהל והן מהמבקרים. יחדיו הקליטו תקליטורים רבים של יצירות לצ'לו ולפסנתר כמו גם קונצ'רטי לפסנתר עם התזמורת הפילהרמונית של מוסקבה בניצוחו של יבלונסקי. יבלונסקי מארגן פסטיבלי מוזיקה ברחבי העולם, ומשנת 2009 הוא מכהן כמנהלו האמנותי של פסטיבל גבלה באזרבייג'ן. לפני שנים ספורות עלו יבלונסקי ואמו לישראל וכעת הם מחלקים את זמנם בין הארץ לקריירה מצליחה בחו"ל. כיום יבלונסקי מלמד בבית הספר למוזיקה בוכמן-מהטה באוניברסיטת תל אביב. ליבלונסקי בית נוסף בכפר קטאלוני קטן בהרים על גבול צרפת וספרד.